Habilidades de Razonamiento Espacial en los Niños son Producto de la Práctica durante la Crianza

Entrenar a los niños en razonamiento espacial puede mejorar su eficiencia con las matemáticas, según las conclusiones a las que se ha llegado en un estudio que quizás marque un antes y un después en la pedagogía de las matemáticas.

Fuente: Bárbara Hirtz.

El equipo de las investigadoras Kelly Mix y Yi-Ling Cheng, ambas de la Universidad Estatal de Michigan, en East Lansing, Estados Unidos, entrenó a niños de 6 a 8 años en rotación mental, una habilidad de razonamiento espacial, y comprobó que sus puntuaciones en problemas de suma y resta mejoraron significativamente. El entrenamiento en rotación mental implica imaginar cómo dos mitades de un objeto se unen para formar un todo, cuando las mitades se han desplazado formando un ángulo.

Investigaciones anteriores habían encontrado una relación entre el razonamiento espacial y las matemáticas, pero el nuevo estudio es el primero en proporcionar evidencia directa de una conexión causal: Cuando los niños son entrenados en una capacidad, se observa una mejora en la otra.

"Lo sorprendente es que vimos estas mejoras de rendimiento en matemáticas después de dar a los estudiantes una sola sesión de entrenamiento de 20 minutos en razonamiento espacial", subraya Mix, que es profesora de psicología educacional. "Imagínese si el entrenamiento hubiera sido de seis semanas".

Algunos expertos en educación han pedido incluir el razonamiento espacial en el currículo de matemáticas elementales. Pero hay muchos tipos de habilidades espaciales y Mix argumenta que es importante primero averiguar cómo cada una de ellas puede o no estar relacionada con las diversas disciplinas de las matemáticas.

A fin de intentar averiguar eso, Mix está impulsando un estudio más amplio en estudiantes de primaria, que tiene por objetivo examinar la relación de las diferentes formas de razonamiento espacial con el rendimiento en matemáticas.

Cómo Estudiar Matemáticas: 6 Técnicas que Multiplicarán tu Nota

Las Matemáticas son una asignatura que no deja indiferente a ningún estudiante. Algunos la aman y otros la odian; siendo este segundo grupo mucho más numeroso que el primero en la mayoría de las ocasiones. Sin embargo, muchos de los estudiantes que odian las matemáticas lo hacen porque no saben cómo estudiar matemáticas para obtener buenos resultados.

Matemáticas es una de esas asignaturas en las que las horas de estudio no tienen una relación directa con la nota. Por mucho que hayas estudiado, si no eres capaz de solucionar el problema del examen, estás perdido. No obstante, existen algunas técnicas para aprender matemáticas que pueden hacer que, independientemente de tu nivel, le saques más partido a tu tiempo de estudio y aumentes tus probabilidades de éxito. ¡Hasta es posible que te acabes uniendo al grupo de amantes de las matemáticas!

Cómo Estudiar Matemáticas

1. Práctica, Práctica y Más Práctica:

Es imposible aprender matemáticas leyendo y escuchando. Para aprender matemáticas hay que ponerse el mono de trabajo y lanzarse a hacer ejercicios matemáticos. Cuanto más practiques, mejor. Cada ejercicio tiene sus particularidades y es importante haber realizado el máximo número de ejercicios posibles antes de enfrentarnos al examen. Este punto es el más importante de todos y la base del resto de técnicas para estudiar matemáticas de esta lista.

2. Revisa los Errores:

Cuando estés practicando con ejercicios, es muy importante que compruebes los resultados y, más importante aún, que te detengas en la parte que has fallado y examines el proceso en detalle hasta asimilarlo. De nada sirve comparar resultados si no sabes en qué te has equivocado. Por eso es conveniente que tengas unos buenos apuntes con problemas resueltos. De esta manera, evitarás cometer los mismos fallos en el futuro. También es recomendable apuntar todos tus fallos y repasarlos repetidamente antes del examen.

3. Domina los Conceptos Clave:

¡No intentes aprenderte los problemas de memoria! Los problemas matemáticos pueden tener miles de variantes y particularidades, por lo que es inútil aprendernos problemas de memoria sin entenderlos. Es cambio, es mucho más efectivo dominar los conceptos importantes y el proceso de resolución de los problemas.

Recuerda que las Matemáticas son una asignatura secuencial, por lo que es importante asentar una base firme dominando los conceptos clave y teniendo claras las fórmulas matemáticas esenciales.

4. Consulta tus Dudas:

Puede que en muchas ocasiones te sientas atascado en una parte de un problema o que simplemente no entiendas el proceso. Lo común en estos casos es simplemente pasar de ese problema y pasar al siguiente. Sin embargo, es recomendable despejar todas las dudas que tengas en la resolución de un problema.

Por tanto, puede ser buena idea estudiar junto a algún compañero con el que consultar dudas y trabajar juntos en problemas más complejos. Asimismo, recuerda plantearle al profesor las dudas que tengas, ya sea en clase o en una tutoría.

5. Crea un Ambiente de Estudio sin Distracciones:

Las Matemáticas son una asignatura que requiere más concentración que ninguna otra. Un ambiente de estudio adecuado y libre de distracciones puede ser el factor determinante para conseguir resolver ecuaciones o problemas de geometría, álgebra o trigonometría complejos.

Si te gusta estudiar con música, puede ser una buena idea escucharla de fondo para relajarte y favorecer un ambiente de máxima concentración.

6. Aplica Problemas al Mundo Real:

En la medida de lo posible, intenta aplicar los ejercicios al mundo real. Las matemáticas pueden ser una materia muy abstracta en algunas ocasiones, por lo que mirar su aplicación práctica puede ayudarte a cambiar tu perspectiva sobre ella y asimilarla de manera diferente.

Si aplicas todos estos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, tendrás muchas probabilidades de mejorar tus notas de acceso o notas finales. Ah, y no olvides que es importante también tener confianza en uno mismo y afrontar el examen sabiendo que te has preparado adecuadamente.

El potencial de una mente abierta.

A todos nos gusta pensar que somos de mente abierta, pero ¿qué significa exactamente?Significa ser receptivo a nuevas ideas y diferentes opiniones o puntos de vista. Desde luego que esto suena razonable, aunque el problema aparece cuando hay demasiadas opiniones y damos crédito a todas.

Tener una mentalidad abierta implica estar en disposición de escuchar las propuestas de los demás, incluso si van en contra de nuestro criterio. Lo siguiente es valorar estas opiniones y decidir si las consideramos acertadas y si podemos incorporar alguna a nuestra vida.

Las personas que no poseen apertura mental son poco o nada flexibles y les asusta demasiado el cambio, pues tienen miedo a lo desconocido. No tienen la habilidad para cambiar de opinión y aceptar las ideas de otros. En otras palabras, como popularmente se dice, son muy “cerrados”, o “estructurados”, y hoy en día esto puede acarrear un grave problema ante la sociedad. 

 

Cómo potenciar y conseguir la apertura mental

Si queremos aprovechar al máximo nuestro potencial de éxito en las relaciones personales, en los negocios y en la vida en general, es importante tener una mente abierta, flexible, desestructurada. Lo mejor es no limitarse a sí mismo; hay infinidad de cosas que se pueden hacer y lograr si abrimos nuestros ojos al mundo y a las cosas que están a nuestro alcance.  Es muy común que estemos amoldados a unos hábitos, a una rutina, y solo veamos las cosas en blanco o negro porque estamos “cómodos” con nuestra forma de pensar. Sin embargo, el mundo está lleno de colores, de matices, y las posibilidades son infinitas. Pero claro, abrirnos a un mundo desconocido resulta todo un desafío y a veces genera temor.   Si tenemos apertura mental ante todas las posibilidades, veremos que la vida es mucho más de lo que creemos y que las oportunidades realmente son abundantes en todos los sentidos. Tenemos que aprender a pensar diferente, siguiendo estos consejos:

 

- Ponerse a sí mismo a prueba: Es bueno salir cada tanto de la “zona segura”.

- Permitir que otras personas nos sirvan de inspiración: La apertura mental está muy relacionada con la humildad, pues quien cree saberlo todo nunca podrá aprender de los demás y no será capaz de replantearse o cuestionar sus ideas o creencias.

- Cuestionar las cosas un poco más: ¿Quién dijo que hay que aceptar las cosas tal como te las presentan el sistema y los demás? Si algo te confunde o no encaja, no dudes en cuestionarlo.

- Aprender a pensar más allá de lo que está delante de uno: Es necesario comprender que todo está conectado y tu poder para anticipar y pensar en el futuro puede ayudarte enormemente.

- No tener miedo a equivocarse: Es muy bueno arriesgar de vez en cuando. Si tienes una excesiva auto-exigencia o demasiado miedo a cometer errores, nunca harás nada.

 

En resumen, es necesario pensar diferente para liberarse de las propias limitaciones. Las personas de mente abierta tienen más posibilidades de alcanzar todo su potencial en la vida porque arriesgan, se atreven, exploran, no se quedan con la opción más fácil. Las personas con apertura mental son buscadores incansables, inconformistas en el buen sentido de la palabra y siempre están dispuestos a aprender de todos y de todo. 

Recordemos que la mayoría de los avances y logros alcanzados por la humanidad han sido llevados a cabo por personas que tenían la fortaleza de una mente abierta, cuestionadora y sin límites.

Método de Resolución Gráfico

Uno de los métodos más básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas es el método gráfico en el cual, si el sistema es un sistema compatible determinado, el resultado será el punto de intersección de ambas rectas descritas al dibujar cada una de las ecuaciones en las cuales está compuesto el sistema.

Para ello, una buena aplicación es la aplicación Fooplot (Online Graphing Calculator), con posibilidad de encontrarlo dentro del Chrome Web Store gratis. En él se puede dibujar las ecuaciones que se deseen y obtener el punto de intersección con bastante facilidad ya que es una aplicación bastante intuitiva.

Es de gran importancia comprobar los resultados de los ejercicios una vez ya terminados, por ello sería un buen y rápido modo el uso de esta aplicación.  

Por otro lado, para todos aquellos que no sepan cómo realizar representaciones gráficas de ecuaciones lineales, aquí les dejo un vídeo tutorial de cómo realizarlas. En mi opinión es un método bueno y seguro para obtener ambas rectas.

Métodos de resolución

Partiendo de un sistema lineal compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Si el sistema anterior es compatible y determinado, entonces resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.

Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos que son los que se van a desarrollar a continuación, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen a una solución del sistema.

Método de Reducción.

Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, con las mismas soluciones, que tenga los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signo contrario, para que al restar o sumar las dos ecuaciones la incógnita desaparezca.

Fuente: Recursostic.educacion.es

Método de Sustitución.

Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra.

Fuente: Recursostic.educacion.es

Método de Igualación.

Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan.

Fuente: Recursostic.educacion.es

Método de Gauss.

Este método consiste en obtener un sistema equivalente al dado que sea escalonado, es decir:

Fuente: Recursostic.educacion.es

Por ejemplo. 

Fuente: Recursostic.educacion.es

Típo de soluciones

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo.

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones. Dándose siguientes casos:

Sistema compatible

Es aquel sistema que sí admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.

Sistema compatible determinado

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Fuente: Wikiversity.org

Sistema compatible indeterminado

El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Fuente: Wikiversity.org

Sistema incompatible

El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común.

Fuente: Wikiversity.org

Análisis de tipos. 

Para poder determinar si, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, corresponde a uno de los casos anteriores, podemos ver, según lo visto anteriormente, el siguiente criterio, partiendo del sistema:

Podemos aplicar el siguiente árbol de decisión, para determinar el tipo de sistema que es:

Cómo se usan las ecuaciones lineales en el día a día

Día tras día, la gente tiende a no pensar en términos de ecuaciones y fórmulas en sus vidas diarias. Usan el lenguaje para describir la situación. Pero las palabras se pueden traducir en el lenguaje de las matemáticas. 

A continuación se describen algunos ejemplos de la vida cotidiana donde esto sucede:

Reparto de objetos.

Una madre tiene que dividir seis manzanas entre tres hijos. Sin esfuerzo se llega a la conclusión de que cada niño recibe dos manzanas. Lo que se ha utilizado es la función matemática de la división para llegar a la respuesta: 6/3 = 2.

Calcular tiempos de viaje.

Supongamos que tu oficina se encuentra a 30 kilómetros de tu casa. Tienes que llegar a las 8 de la mañana, y sabemos que el tráfico se mueve a 60 millas por hora. Para saber la hora exacta en la que debes salir de casa, traduce la palabra problema en una ecuación: tiempo total = distancia dividida entre la velocidad de desplazamiento. Así que t (tiempo) = D (distancia) / r (tasa), y T = 30/60. Así que t = 1/2 o media hora. Para llegar a la oficina a las 8 de la mañana, debe salir a las 7:30 de la mañana.

Convertir de horas a minutos.

¿Cuántos minutos hay en cuatro horas? Sea x = el número de horas, y = el número de minutos. Por definición, hay 60 minutos en una hora. Así que puedes escribir una ecuación para describir esta relación: y = 60x. El número de minutos es igual a 60 veces el número de horas. Por ejemplo, supongamos que x = 4. A continuación, conecta el número en la ecuación lineal para obtener y = 60 * 4. Por lo tanto y = 240 minutos.

Pesos y medidas.

Digamos que tu receta requiere de 100 gramos de harina, pero sólo se puede llegar a pesar en onzas. Se utiliza una fórmula matemática para convertir de gramos a onzas. O bien, medir el camino de entrada para calcular la cantidad de cemento que tendrá que preparar. Presupuesto, inversión, costura, cocina -las matemáticas están en todas partes.

Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

Historia de las ecuaciones lineales.

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

Fuente: Alba Alonso Perujo 

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones

Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor por la geometría. 

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema que dice, "hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. "

Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya, y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.

¿Qué son los sistemas de ecuaciones?

En las matemáticas, se conoce como un sistema de ecuaciones a aquel conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción.
En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema que se desea resolver.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con en algunas ocasiones subíndices.