Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado
por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto
con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso
más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas
básicas del álgebra cuando
los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo.
Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos
ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus
soluciones. Dándose siguientes casos:
Sistema compatible
Es aquel sistema que sí admite soluciones.
La compatibilidad de un sistema se
determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el
sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la
segunda.
Sistema compatible determinado
Si admite un número finito de
soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el
sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son
dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la
solución al sistema.
Sistema compatible indeterminado
El sistema admite un número infinito de
soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos
ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante:
cualquier punto de la recta es solución del sistema.
Sistema incompatible
El sistema no admite
ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas
paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El
cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y
por lo tanto no tienen ninguna solución en común.
Análisis de tipos.
Para poder determinar si, un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas, corresponde a uno de los casos anteriores, podemos
ver, según lo visto anteriormente, el siguiente criterio, partiendo del
sistema:
Podemos aplicar el siguiente árbol de
decisión, para determinar el tipo de sistema que es:
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